TEORI BILANGAN " KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL "

KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL

Definisi:

Kelipatan Persekutuan Terkecil (LPL) dari dua bilangan bulat tidak nol a dan b adalah suatu bilangan bulat positif m ditulis [a,b] = m, apabila memenuhi :

i.              a | m dan b | m

ii.            jika a | c dan b | c, maka m  c

dalam definisi ini dapat dimengerti bahwa kelipatan dari setiap dua bilangan bulat yang tidak nol selalu merupakan suatu bilangan bulat positif. Dalam (i) pada definisi itu mengatakan bahwa masing-masing dari dua bilangan itu membagi kelipatan persekutuan terkecilnya. Sedangkan (ii) mengatakan bahwa kelipatan persekutuan lainnya tidak lebih kecil dari KPK dua bilangan itu.

Contoh 1:

[6,8] = 24 maka 6 | 24 dan 8 | 24. Kelipatan persekutuan yang lain misalnya 48,72,97,... masing-masing lebih besar dari 24.

Perhatikan contoh di atas yaitu himpunan semua kelipatan persekutuan bulat positif dari 6 dan -9 adalah 18 atau ditulis [6,-9] = 18. Tampak disini bahwa semua kelipatan persekutuan dari 6 dan -9 selalu terbagi oleh 18. Hal ini dapat dilakukan bahwa setiap kelipatan persekutuan dari dua bilangan bulat selalu terbagi oleh KPK dari du bilangan tersebut. Hal ini dinyatakan sebagai teorema berikut ini.

Teorema 1.

Jika c suatu persekutuan dari dua bilangan bulat tidak nol a dan b, maka KPK dari a dan b membagi c yaitu, [a,b] | c

Bukti :

Misalkan [a,b] = m maka harus ditunjukan bahwa m| c

Andaikan m  c, maka menurut algoritma pembagian, ada bilangan-bilangan bulat q dan r sedemikian sehingga

 C = q m + r dengan 0 < r < m

Karena c adalah kelipatan persekutuan dari a dan b, maka b | c. Karena [a,b] = m maka a | c dan b | c.

Karena [a,b] = m maka a | m dan b | m.

a | m maka a | qm dan a | c, maka a | (c – qm). Ini berarti a | r.

Demikian pula b | m maka b | qm dan karena b | c, maka b | (c – qm). Berarti b | r.

Karena a | r dan b | r maka r adalah kelipatan persekutuan dari a dan b.

Tetapi karena [a,b] = m dan 0 < r < m maka hal tersebut tidak mungkin (kontradiksi).

Jadi pengandaian diatas tidak benar, berarti m | c atau [a,b] | c

Perhatikan bahwa [6,9] = 18 dan [2.6.2.9] = [12.18] = 36

Tampak bahwa [2.6.2.9] = 2 [6.9]

Hal ini memberikan ilustrasi dari teorema berikut ini.

Teorema 2:

Jika c > 0, maka [ ca,cb] = c [a,b]

Bukti:

Misalkan [a,b] = d, maka a | d dan b | d , sehingga ac | dc dan bc | dc. Hal ini berarti dc adalah kelipatan persekutuan dari ac dan bc, dan menurut teorema 2, maka [ac,bc] | dc.

Karena [ ab,bc] = mc maka mc | dc, sehingga m | d.

Karena [ ab, bc], maka ac | mc dan bc | mc, sehingga a | m dan b | m. Dan mnurut teorema 1 maka [a,b] | m, yaitu d | m dan karena m | d, maka d = m.

Sehingga dc = mc, yaitu c[a,b] = [ac,bc]

Contoh :

(1)  [105,45]          =          [15.7 , 15.3]

=          15[7.3]

=          15[21]

=          315

(2)  [18,30]                        =          [6.3 , 6.5]

=          6[3.5]

=          6.15

=          90

Mengingat teorema tersebut, maka mengeluarkan faktor persekutuannya akan mempermudah dan mencari KPK nya.

Jika (a,b) = 1 maka [a,b] = ab ? akan kita tunjukan sebagai berikut:

Jelas bahwa ab adalah kelipatan persekutuan dari a dan b menurut teorema 2 maka [a,b] | ab. Di lain pihak, menurut akibat dari teorema 2 karena a | [a,b] dan b | [a,b] dengan (a,b) = 1, maka ab | [ab] dan karena [a,b] | ab, maka disimpulankan [a,b] = ab

Selanjutnya, apabila (a,b) = d maka

Jika kedua ruas dikalikan dengan d² maka diperoleh bahwa

                                                            d [ a,b ] = ab

                                                            (a,b) [a,b] = ab

Uraian diatas merupakan bukti dari teorema berikut ini.

Teorema 3 :

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat yang keduanya postif, maka

            (a,b)[a,b] = ab

Contoh:

(1)  Karena (16,20) = 4 dan [16,20] = 80, terdapat hubungan (16,20)[16,20] = 4.80 = 320 = 16.20

(2)  (25,28) = 1 dan [25.18] = 45. Terdapat hubungan (25.18)[25.18] = 1.450 = 25.18

RANGKUMAN

1.    Bilangan bulat c merupakan kelipatan persekutuan dari a dan b jika a | c dan b | c.

2.    Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari a dan b yang kedunya tidak nol, ditulis dengan notasi [a,b]

3.    [a,b] = d jika :

(i)            a | d dan b | d

(ii)          jika a | c dan b | c maka d  c

4.    jika suatu kelipatan persekutuan dari a dan b maka [ a,b] | c atau dikatakan bahwa kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan selalu membagi setiap kelipatan persekutuan dari dua bilangan itu.

5.    Jika m suatu bilangan bulat positif, maka [ma,mb] = m[a,b]

6.    Jika (a,b) = 1 maka [a,b] = ab. Prinsip-prinsip (5) dan (6) ini membantu kita memperoleh menghitung KPK dari dua bilangan.

7.    Jika a dan b dua bilangan bulat positif, maka (a,b)[a,b] = ab. Atau dengan kata lain hasil kali dari FPB dan KPK dari dua bilangan positif sama dengan hasil kali dua bilangan itu.